Lesson 7 (10個基本推演規則，10 basic rules of inference)

(一) 肯定前件規則 (modus ponendo ponens 簡寫 PP)：

   1. S"Q     P (此P代表premise為真)

   2. S        P (此P代表premise為真)

   3. Q        PP, 1, 2 (表示理由是「規則PP」及1, 2)

(二) 双否定規則 (rule of double negation簡寫 DN)

   1. S        P

   2. ¬ ¬S           DN, 1 

(三) 否定後件規則 (modus tollendo tollens 簡寫 TT)

   1. R"S     P

   2. ¬S             P

      3.   ¬R            TT, 1, 2

(四) 附加規則 (rule of adjunction簡寫 A)

   1. S       P

   2. T       P

   3. SÙT     A,1,2

(五) 簡化規則 (rule of simplification 簡寫 S)

   1. QÙR           P

   2. Q                P

   3. R        S,1,2 

(六) 否定肯定規則 (modus tollendo ponens簡寫 TP)

   1. QÚR            P

   2. ¬ Q              P

      3.    R                TP, 1, 2

(七) 假言三段論 (law of hypothetical syllogism 簡寫 HS)

   1. W"Q     P

   2. Q"R           P

   3. W"R     HS,1,2

(八) 選言三段論 (law of disjunctive syllogism 簡寫 DS)

   1. WÚQ           P

   2. W"S          P

   3. Q"T           P

   3. SÚT          DS,1,2,3

(九) 狄摩根律 (DeMorgan’s Law簡寫 DM)

        ¬(AÚB)與(¬A)Ù(¬B)邏輯等價

     ¬(AÙB)與(¬A)Ú(¬B)邏輯等價

(十) 移出律 (law of exportation簡寫 Exp)

    P"(Q"R)與(PÙQ)"R 邏輯等價

Lesson 6 (連詞的性質)
從集合觀點看條件句：
假設Ｐ，Ｑ為關於 x 性質的語句。
若令A={x | x符合P的敍述}，B={x | x符合Q的敍述}
那麼 P"Q 就是AÍB。
例如先前討論的「x是白馬"x是馬」從集合觀點來看就是白馬的集合包含於馬的集合。
而集合論中AÍB的定義也就是 "xÎA"xÎB。

第二課中我們用四個連詞連結一些原子語句組成邏輯語句。其實只要「或」「且」「否」就足夠了，因為「P"Q」 和「Q Ú ¬P」邏輯等價(真假情況完全一致，用＝表示，課堂上我們已用演譯法証明)。

習題一：用真值表証明「P"Q」＝「Q Ú ¬P」

若且唯若：
定義P«Q為(P"Q) Ù(Q"P)，並稱P成立"若且為若"Q成立，或說P是Q的充分必要條件，簡稱「充要條件」。
用真值表便可看出P«Q就是P和Q邏輯等價(真假情況完全一致)

Ù和Ú之間的分配律 (distributive law)
習題二：
用真值表証明 PÙ(QÚR)＝(PÙQ) Ú(PÙR)

習題三：
用真值表証明 PÚ(QÙR)＝(PÚQ)Ù(PÚR)

習題四：
甲說：我晚餐 一定要吃魚且喝飲料，飲料喝果汁或茶都可以。
習題二、三中那一種邏輯形式可以表達乙的需要？並寫出 P＝？Q＝？R＝？

習題五：
乙說：Ａ、Ｂ 兩種獎學金我都要，A獎學金的條件是英文90分以上或數學90分以上，B獎學金的條件是英文90分以上或國文90分以上。
習題二、三中那一種邏輯形式可以表達乙的需要？並寫出 P＝？Q＝？R＝？

Lesson 5 (條件句)
定義 P"Q如下：

P	Q	P"Q
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

我們稱前面的P為後面Q的充分條件、後面Q是前面P的必要條件。
請感受兩者的關係，P成立就足夠得到Q成立，所以P對Q來說夠充分了。然而若想耍P成立那一定要Q成立才行，所以Q對P來說是絕對必要的。

就舉 『X是白馬"X是馬』為例：
"X是白馬"此條件就足以(足夠、夠充分)推論出"X是馬"，
所以我們說"X是白馬"為"X是馬"的充分條件。
但"X是白馬"為真這件事卻一定要在"X是馬"為真之下才有可能，
因此"X是馬"為"X是白馬"的必要條件。

再舉『X是科學家"X會微積分』為例：
"X是科學家"此訊息充分告訴我們"X會微積分"，
因此"X是科學家"是"X會微積分"的充分條件。
而要成為科學家必定要先學會微積分，
因此"X會微積分"是"X是科學家"的必要條件。

注意：
只有在P對但Q錯的情況才能說 P"Q是錯的。
這就如同電腦程式中若有一條件句其前提在所有情況都不符合，那不論後續有何荒謬指令(只要格式OK)，都不會有bug出現。

將下列敍述句寫成「若P則Q」邏輯形式（建議先找出必要條件）：
1. 除非你請客否則我絕不去自助餐廳。
   答案：「我去自助餐廳 " 你請客」

2. 只有在我們球隊落後10分以上，我才考慮上場打球。
    答案： 「我 上場打球  "我們球隊落後10分以上」

3. 只要我們球隊落後10分以上，我一定上場打球 。
    答案： 「我們球隊落後10分以上"我上場打球 」

4. 我不考慮選邏輯學除非老師不點名。
    答案： 「我選邏輯學 " 老師不點名」

5. 他只有感冒時才會帶口罩。
    答案： 「他帶口罩  "  他感冒了」

6. 只有在和平的前提下我們才可能談合作。
    答案： 「 我們談合作  "  我們和平相處 」

Lesson 4: 真值表
 用真值表(truth table)來定義連詞產生之分子語句的真假如下：

P	Q	P∨ Q
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

P	Q	P ∧  Q
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

P	¬ P
T	F
F	T

上課時我們用這些定義証明了¬(P∨Q)=¬P∧¬Q
並說明了量詞「對所有」等同用「且」這個連詞
而量詞「存在」等同用「或」這個連詞。
並擧了很多例子，請用相同方法回答下列問題。

習題一：
(1) 用真值表証明 P∨¬P 永遠為真。
(2) 用真值表証明 P ∧ ¬P 永遠為假。

習題二：
(1) 用真值表証明 P = ¬¬P
(2) 用真值表証明 ¬(¬P ∧ ¬Q)=P∨Q

習題三：
定義有排他性的或⊻為 

P	Q	P⊻Q
T	T	F
T	F	T
F	T	T
F	F	F

請用∨、∧、¬及P, Q建立一個邏輯語句，其真值表和⊻完全相同。

習題四：
寫出下列語句的否定句：
(1) 有一個人每一次買彩券都中獎。
(2) 所有大學生在大學四年中必存在一個學期他修的每一科都被當。
_______________________________________________

作業(一)學生造的句子，有些是詭論有些只是矛盾。可拿來練習寫出它們的邏輯形式。

1. 甲：我從不說謊 乙：甲很愛說謊。
2. 小木偶說他這完這句話後鼻子會變長。
3. 你的任務就是不接受一切任務。
4. 最危險的地方就是最安全的地方。
5. 聾子聽啞巴說瞎子看到鬼。
6. 世界上沒有永遠的真理。
7. 你說的都對，我說的都錯。
8. 我看到了我看不見的東西。
9. 我只跟不做作業的同學一起寫作業。
10. 我只跟永不結婚的人結婚。
11. 如果有人說他知道我說的話都是謊話，他並沒有說錯。 
12. 這世界上絕對沒有絕對這兩個字。
13. 今天是愚人節。
14. 小弟：大哥永遠是對的，大哥：小弟你錯了。
15. 正確的邏輯語句都是矛盾的。

Lesson 3 (語句的形式與符號化)：

分子語句的形式form是看我們所選的連詞而定，不是看原子語句內容而定。

如果我們不寫出原子語句，而只示出它們的位置便可看出其形式。

如：

(   )且(   )  為使用「且」這個連詞之分子語句的形式。

(   )或(   )  為使用「或」這個連詞之分子語句的形式。

非(   )  為使用「非」這個連詞之分子語句的形式。

如果(   )則(   )  為使用「如果．．．則．．．」這個連詞之分子語句的形式。

__________________________________________________

英文說法：

(   ) and (   ) 或說成 Both (   ) and (   )

(   ) or (   ) 或說成 Either (   ) or (   )

Not (   )

If (   ) then (   )

__________________________________________________

將原子語句符號化，可幫助我們處理冗長而複雜的句子。
例如，設 P='雪深'; Q='天氣冷' 則 '雪深且天氣冷' 的邏輯形式是(   )且(   )
            用符號表示為 
                          (P) and (Q)。
                           P∧Q       
             "你可吃飯或吃麵" 的邏輯形式是(   ) 或 (   )
             若設 A='你可吃飯',  B='你可吃麵' 則此句用符號表示為 
                           (A) or (B)。
                           A∨B
             "鴨不是四腳動物" 的邏輯形式是 Not (   )
             若設 Y=' 鴨是四腳動物 ' 則此句用符號表示為
                            Not (Y) 。
                             ¬Y
             "如果她參加跳舞社則我一定參加"
             若設 W='她參加跳舞社' , Z='我參加跳舞社' 則此句用符號表示為
                           If (W) then (Z)。
                           W"Z
__________________________________________________

練習：(以邏輯的真假為目的來改寫語句，並用符號寫出語句形式)

一年多以來，小孩子都只記得母親節，卻忘了父親節，所以爸爸都挺失落的。

而今年八月八日，有位爸爸坐在餐桌旁和家人用餐。

突然間兒子就往冰箱走去，當他打開冰箱蹲下取物時，突然若無其事的說︰「爸！你知道今天是幾月幾日嗎？」

老爸心中暗自竊喜，想著這兒子可能要給他一個驚喜，因而高興地回答︰「今天是八月八日。」

兒子有點失望的說︰「可惜！牛奶過期了！」。

_____________________________________________________
分析第一句
『一年多以來，小孩子都只記得母親節，卻忘了父親節，
   所以爸爸都挺失落的。』
令 A=一年多以來小孩子記得母親節 (可去掉情緒字 "只" ，因為不影響語句的真假)
     B=一年多以來小孩子記得父親節
     C=爸爸很失落
 則整句= A∧¬B∧(¬B"C)

要求學生依此方法找出文中其他句子的形式 (自我練習不要交)。
____________________________________________________

練習：

An American farmer was on holiday in Wales.  He could not resist exploring the hill farms north of Aberystwyth.  At lunch time he dropped into a pub and fell into easy conversation with a Welsh farmer.

'How big is your spread?' , asked the American. 'Well look you, it's about 20 acres he said' .  Only 20 acres the American responded, back in Texas I can get up at sunrise, saddle my horse and ride all day, when I return at supper time, I'll be lucky to cover half my farm'. ' Dew dew', said the Welshman, 'I once had horse like that, but sent him to the knackers yard.'

_______________________________________________________

Lesson 2:
邏輯語言的目標在於精確與周密，是一種精確的語言。
所以要有一組完全清楚和確定的規則。
我們說的每個語句都具有一種邏輯形式。
最基本的兩種形式是原子語句(atomic)和分子語句(molecular)。
原子語句：最簡單最基本的語句，由一些名詞用述詞連接而成。
分子語句：用一連詞把一個或多個原子語句組合而成。
連詞：”且”（and) 、" 或”（or)、 " 非”（not)、
            " 如果...，則...”（if..., then...）

例如下面兩個原子語句：
今天是星期五。
學校有迎新晚會。

例如下面幾個分子語句：
今天是星期五而學校有迎新晚會。
月亮不是餅做成的。
那些雲將散開或是今天一定會下雨。
如果這是十月則萬聖節即將來臨。
這土壤很肥沃而雨水也足夠。

要求同學從生活中找例子，並練習下列習題。

習題(1)：下列語句那些是原子語句?那些是分子語句？對每一分子語句，試寫出所使用的語句連詞。

1. 今天的午餐恰好在正午。
2. 那隻大狗懶洋洋而笨重地走向道路去。
3. 那音樂非常柔和或是那門是關著。
4. 他要他的煙斗並且他要他的碗。
5. 阿土是個好選手或是他非常幸運。
6. 如果阿土是個好選手則他將在校隊裡。
7. 許多大學生在一年級學邏輯。
8. 如果小貓戴兩個手套則大貓戴帽子。
9. 小貓不常戴兩個手套。
10. 如果阿英在唱歌則她必定快樂。
11. 傑克喜歡玩但也喜歡讀書。
12. x=1或y+z=3。
13. y=2 而z=11。

習題(2)：組句練習：
試用一個語句連詞及下列一個或多個原子語句，造四個分子語句(四個連詞每一個恰好用一次)。

1. 風吹得很厲害。
2. 阿土應該很容易能夠獲勝。
3. 下雨也許會使他們取消比賽。
4. 我們明天會知道是什麼計劃。
5. 我們仍有時間在七點鐘到那兒。
6. 阿蘭的朋友是對的。
7. 我們弄錯開會時間。

習題(3)：對下列每一分子語句找出其連詞，並寫出找到的原子語句的數目。
1. 這不是我的好日子。
2. 冬天來了而白天變短。
3. 許多病菌不是細菌。
4. 如果在大岩塊裡有斷口，則多半會發生地震。
5 那一數字大於或等於二。
6 這個男孩是我的弟弟而我是他的姐姐。
7 如果x<0則y=2。
8 x=0 或y=1。
9 x+y=y+x。
10 x>0 且x<0。

以上習題9月21日星期五課堂上交(上課前)
以後作業請用活頁紙繳交，期末裝訂好，老師要收回不可丟棄。

Lesson 1:
為何要學邏輯？學生能否從日常生活中體驗到邏輯的存在？
先看看無窮矛盾的例子，思考從『對』推論出『錯』、從『錯』推論出『對』
如此『對』→『錯』→『對』→『錯』→『對』→『錯』‧‧‧‧的感覺就是詭論。

邏輯詭論：

1. 埃庇米尼得斯--詭論 (Epimenides paradox) :
Epimenides the Cretan says, 'that all the Cretans are liars'
埃庇米尼得斯是克里特人他說『所有克里特人都是撒謊者』

2.『這句話是錯的』

3. 羅素曾經說，哲學家喬治摩爾(George Edward Moore 1873 – 1958)一生只有一次說謊，就是有人問他：是否他總是說真話時，摩爾回答『不是。』

4. 塗寫一個告示『不准塗寫 』

5. 一個招牌上寫『不許讀此招牌 』

6.『一切規則都有例外』

7.『所有知識都值得懷疑』

8.『這句話有八個字』

9. 黑板上寫著
    (a) 2+2=4
    (b) 3‧6=17
    (c) 8/4=2
    (d) 13-6=5
    (e) 5+4=9
    (f) 選出3個錯誤句子

10. A, B兩個句子如下
    A： 句子B是真的
    B： 句子A是假的

11. 一個男理髮師的招牌寫著『我給城裡所有不自己刮鬍子的人刮鬍子，我也只給這些人刮鬍子』

作業： 設計至少2個邏輯詭論的句子。